Question

已知函数f（x）=（x²+ax+2）e^x，（x，a∈R）．
（1）当a=0时，求函数f （x） 的图象在点A （1，f （1））处的切线方程；
（2）若f （x） 在R上单调，求a的取值范围；
（3）当时，求函数f（x）的极小值．

Answer

（1）先求出函数f（x）的导函数，求出切点坐标，根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，再用点斜式写出切线方程，化成一般式即可；
（2）若f（x）在R上单调，则f'（x）=ex[x2+（a+2）x+a+2]＞0恒成立，考虑到ex＞0恒成立且x2系数为正，从而等价x2+（a+2）x+a+2≥0恒成立，利用判别式建立关系式，即可求出所求；
（3）先求出f′（x）=0的值，再讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值即可．
【解析】
f'（x）=ex[x2+（a+2）x+a+2]…（1分）
（1）当a=0时，f（x）=（x2+2）ex，f'（x）=ex（x2+2x+2），…（2分）f（1）=3e，f'（1）=5e，
∴函数f（x）的图象在点A （1，f （1）） 处的切线方程为y-3e=5e （x-1），
即5ex-y-2e=0    …（4分）
（2）f'（x）=ex[x2+（a+2）x+a+2]，
考虑到ex＞0恒成立且x2系数为正，
∴f （x） 在R上单调等价于 x2+（a+2）x+a+2≥0恒成立   …．（6分）
∴（a+2）2-4（a+2）≤0，
∴-2≤a≤2，即a 的取值范围是[-2，2]，…（8分）
（若得a的取值范围是（-2，2），可扣1分）
（3）当时，，
…（10分）
令f'（x）=0，得x=-3，或
令f'（x）＞0Z，得，
令f'（x）＜0Z，得…（12分）
x，f'（x），f（x）的变化情况如下表

x （-∞，-3） -3
f'（x） + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以，函数f（x）的极小值为f（）=…（14分）