Question

已知函数f（x）=ae^x和g（x）=lnx-lna的图象与坐标轴的交点分别是点A，B，且以点A，B为切点的切线互相平行．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数，求函数F（x）的极值；
（Ⅲ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x，我们把|f（x）-g（x）|的值称为两函数在x处的偏差，求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2．

Answer

（Ⅰ）利用导数的几何意义，分别求两函数在与两坐标轴的交点处的切线斜率，令其相等解方程即可得a值；
（Ⅱ）利用导函数，找到函数的单调区间，进而得到极值；
（Ⅲ）整理出偏差函数，求其最小值大于2即可得证．
【解析】
（Ⅰ），
函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），
函数y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），
由题意得，
又∵a＞0，∴a=1 （4分）
（Ⅱ）∵，∴，
∴函数F（x）的递减区间是（0，1），递增区间是（1，+∞），
所以函数F（x）极小值是F（1）=1，函数F（x）无极大值（8分）
（Ⅲ）函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞），∴
设x=t为的解，即
则当x∈（0，t）时，F'（x）＜0，当x∈（t，+∞）时，F'（x）＞0，
∴F（x）在（0，t）内单调递减，在（t，+∞）上单调递增，∴（10分）
∵，∴，
故，
即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2（14分）