Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱长为a
（1）求直线BC₁与AC所成的角；
（2）求直线D₁B与平面ABCD所成角的正切值；
（3）求证：平面BDD₁⊥平面ACA₁．

Answer

（1）连接AD1，D1C，证明∠D1AC为直线BC1与AC所成的角，即可求得结论；
（2）利用DD1⊥平面ABCD，可得∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角，利用正切函数可得结论；
（3）利用线面垂直的判定定理证明AC⊥平面BD1D，再利用面面垂直的判定定理证明平面ACA1⊥平面BD1D．
（1）【解析】
连接AD1，D1C，则
∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴四边形ABC1D1是平行四边形
∴A1D1∥DC1，
∴∠D1AC为直线BC1与AC所成的角，
∵△AD1C是等边三角形，
∴直线BC1与AC所成的角为60°；
（2）【解析】
∵DD1⊥平面ABCD，∴∠D1DB为直线D1B与平面ABCD所成的角，
在Rt△D1DB中，tan∠D1DB==
∴直线D1B与平面ABCD所成角的正切值为；
（3）证明：∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD
∴DD1⊥AC
∵BD⊥AC，BD∩DD1=D
∴AC⊥平面BD1D
∵AC⊂平面ACA1，
∴平面ACA1⊥平面BD1D------（14分）