Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值．
（3）求函数g（x）=xf（x）+4x在x∈[0，2]的最值．

Answer

（1）由f（x）=ax2+bx-3，知f′（x）=2ax+b．由二次函数f（x）=ax2+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行，知，由此能求出f（x）．
（2）由f（x）=x2-2x-3，知g（x）=xf（x）+4x=x3-2x2+x，所以g′（x）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1）．令g′（x）=0，得，x2=1．列表讨论能求出函数g（x）=xf（x）+4x的单调递增区间及极值．
（3）由g（0）=0，g（2）=2，结合（2）的结论，能求出函数g（x）的最大值和最小值．
【解析】
（1）∵f（x）=ax2+bx-3，
∴f′（x）=2ax+b．
∵二次函数f（x）=ax2+bx-3在x=1处取得极值，且在（0，-3）点处的切线与直线2x+y=0平行，
∴，
解得a=1，b=-2．所以f（x）=x2-2x-3．
（2）∵f（x）=x2-2x-3，
∴g（x）=xf（x）+4x=x3-2x2+x，
所以g′（x）=3x2-4x+1=（3x-1）（x-1）．
令g′（x）=0，得，x2=1．

x （-∞，） （，1） 1 （1，+∞）
g′（x） + - +
g（x） ↑ 极大值 ↓ 极小值0 ↑

所以函数g（x）的单调递增区间为（-∞，），（1，+∞）．在x2=1有极小值为0．
在有极大值．
（3）∵g（0）=0，g（2）=2，
∴由（2）知：函数g（x）的最大值为2，最小值为0．