Question

已知函数f（x）=ax+lnx
（1）试讨论f（x）的极值
（2）设g（x）=x²-2x+2，若对∀x₁∈（0，+∞），∃x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求实数a的取值范围．

Answer

（1）求导数，利用导数不等式先判断函数的单调性，从而判断函数的极值．
（2）将f（x1）＜g（x2）问题转化为求函数的最值问题．
【解析】
（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），．
当a≥0时f'（x）＞0，所以f（x）在（0，+∞）上为增函数，此时函数不存在极值．
当a＜0时，由f'（x）＞0，解得，此时函数递增．由f'（x）＜0，解得此时函数递减．此时函数在x=-处取得极小值．无极大值．
综上所述：当a≥0时，函数不存在极值．
当a＜0时，函数在x=-处取得极小值．无极大值．
（2）对∀x1∈（0，+∞），∃x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），恒成立
由（1）知当a≥0时，f（x1）在（0，+∞）上为增函数，f（x1）无最大值；
当a＜0时，
又g（x2）=x22-2x2+2在x2∈[0，1]上单调递减，所以g（x2）max⁡=g（0）=2．
所以，解得a＜-e-3．
所以，实数a的取值范围是（-∞，-e-3）．