Question

在数列{a_n}中，a₁=a₂=1，a_n+1+（n-1）a_n-1=（n+1）a_n，n=2，3，4，…．关于数列{a_n}给出下列四个结论：
①数列{a_n+1-na_n}是常数列；                   
②对于任意正整数n，有a_n≤a_n+1成立；
③数列{a_n}中的任意连续3项都不会成等比数列；   
④．
其中全部正确结论的序号是    ．

Answer

①由an+1+（n-1）an-1=（n+1）an，可得（an+1-nan）-[an-（n-1）an-1]=0，从而可知数列{an+1-nan}是常数列；                   
②由①知，an+1-nan=0，从而可得=n，故对于任意正整数n，有an≤an+1成立；
③由②知，数列{an}中的任意连续3项都不会成等比数列；   
④确定=，利用裂项法，可求和．
【解析】
①∵an+1+（n-1）an-1=（n+1）an，
∴（an+1-nan）-[an-（n-1）an-1]=0
∵a1=a2=1，∴a2-a1=0，
∴数列{an+1-nan}是常数列；                   
②由①知，an+1-nan=0，∴=n，∴对于任意正整数n，有an≤an+1成立；
③由②知，数列{an}中的任意连续3项都不会成等比数列；   
④∵，∴=，
∴．
综上，正确结论的序号是①②③④
故答案为①②③④