(I)欲求出切线方程,只须求出其斜率即可,故先利用导数求出在x=1处的导函数值,再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率.从而问题解决.
(II)先求出f(x)的导数,根据f′(x)>0求得的区间是单调增区间,f′(x)<0求得的区间是单调减区间,因为在函数式中含字母系数a,要对a分类讨论.
【解析】
f'(x)=3x2-12ax
(Ⅰ)当a=-1时,y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率是k=15,而f(1)=7
曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y-7=15(x-1),即15x-y-8=0.(6分)
(Ⅱ)令f′(x)=3x2-12ax=3x(x-4a)=0∴x1=0,x2=4a
(1)当4a=0,即a=0时f'(x)=3x2≥0∴f(x)在R上为增函数.
(2)当4a<0,即a<0时,在区间(-∞,4a),(0,+∞)内f'(x)>0,
在区间(4a,0)内f'(x)<0.∴f(x)在(-∞,4a),(0,+∞)内为增函数,在(4a,0)内为减函数.
(3)当4a>0,即a>0时,在区间(-∞,0),(4a,+∞)内f'(x)>0,
在区间(0,4a)内f'(x)<0.∴f(x)在(-∞,0),(4a,+∞)内为增函数,在(0,4a)内为减函数.(14分)