Question

已知n次多项式S_n（x）=（1+2x）（1+4x）（1+8x）…（1+2ⁿx），其中n是正整数．记S_n（x）的展开式中x的系数是a_n，x²的系数是b_n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）证明：b_n+1-b_n=4ⁿ⁺¹-2ⁿ⁺²；
（Ⅲ）是否存在等比数列{c_n}和正数c，使得b_n=（c_n-c）（c_n+1-c）对任意正整数n成立？若存在，求出通项c_n和正数c；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）展开式中x的系数可看成：第一个括号取2x，其余均取1，第二个括号取4x，其余均取1，…，第n个括号取2nx，其余均取1，则an=2+4+…+2n；
（Ⅱ）由题意可得 ．从而，借助（Ⅰ）可得结论；
（Ⅲ）由（Ⅱ）利用累加法求得bn，根据条件形式可得结论；
（Ⅰ）【解析】
由题意得，，即 ．
（Ⅱ）证明：由，
得 ．
所以 ，即 ．
（Ⅲ）【解析】
由S1（x）=1+2x，得b1=0．
当n≥2时，
由 ，
得 ．
当n=1时，b1=0也适合上式，故，n∈N*．
因此，存在正数和等比数列，使得bn=（cn-c）（cn+1-c）对于任意
正整数n成立．