Question

如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，，M是线段EF的中点．
（1）证明：CM∥平面DFB
（2）求异面直线AM与DE所成的角的余弦值．

Answer

（1）设正方形的对角线AC和BD相交于点O，由条件证明MF和CO平行且相等，四边形COFM为平行四边形，故CM∥OF，再由直线和平面平行的判定定理证得 CM∥平面DFB．
（2）建立空间直角坐标系，求得点C、点A、点E、，点D、点M的坐标，可得和 的坐标，以及||、||和 的值．再利用两个向量的夹角公式求得、的夹角θ 的余弦值，再取绝对值，即得所求．
【解析】
（1）设正方形的对角线AC和BD相交于点O，∵M为的中点，ACEF为矩形，故MF和CO平行且相等，
故四边形COFM为平行四边形，故CM∥OF，
而OF⊂平面DFB，CM不在平面DFB内，∴CM∥平面DFB．
（2）以点C为原点，CD为x轴，CB为y轴，CE为z轴，建立空间直角坐标系，则点C（0，0），点A（，，0），点E（0，0，1），
点D（，0，0），点M（，，1），
∴=（-，-，1），=（-，0，1），||=，||=，=1+0+1=2．
设、的夹角为θ，cosθ===，故异面直线AM与DE所成的角的余弦值为 ．