Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
（Ⅰ）求证：平面AEC⊥平面PDB；
（Ⅱ）当，且直线AE与平面PBD成角为45°时，确定点E的位置，即求出的值．

Answer

（Ⅰ）设AC交BD于O，连接OE，由PD⊥平面ABCD，知PD⊥AC，由BD⊥AC，知AC⊥平面PBD，由此能够证明平面ACE⊥平面PBD．
（Ⅱ）法一：由平面ACE⊥平面PBD，知AO⊥PBD，由直线AE与平面PBD成角为45°，知∠AEO=45°，由此能够求出．
法二：以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能够求出的值．
【解析】
（Ⅰ）设AC交BD于O，连接OE，
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AC，
∵BD⊥AC，∴AC⊥平面PBD，
又∵AC⊆平面AEC，∴平面ACE⊥平面PBD．…（6分）
（Ⅱ）（方法一）∵平面ACE⊥平面PBD，平面ACE∩平面PBD=BD
AO⊥BD
∴AO⊥面PBD，
∵直线AE与平面PBD成角为45°，∴∠AEO=45°，
设，则OE=1，
∴．…（12分）
（方法二）以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系，如图 
平面BDE法向量为，
设，，，
令，
则，，
得或λ=1（舍），
∴．…（12分）