Question

已知函数．，其中a，b∈R
（1）若曲线y=f（x）在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，求函数f（x）的解析式；
（2）讨论函数f（x）的单调区间．

Answer

（1）先求函数的导数，再由导数的几何意义和切线方程列方程f′（2）=3，再由切点在切线上和曲线上列方程，分别求出a和b；
（2）由解析式求出函数的定义域，根据导数的表达式对a进行分类：a≥0和a＜0，分别求出f'（x）＜0和f'（x）＞0的解集，再表示成区间的形式．
【解析】
（1）由题意得=，
∵在点P（2，f（2））处的切线方程为y=3x+1，
∴f′（2）==3，且f（2）=7=，
解得，a=-16，b=17，
故函数f（x）的解析式：，
（2）函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
且=，
当a≥0时，恒有f'（x）≤0，f（x）的单调递减区间为（-∞，0），（0，+∞）；
当a＜0时，令f'（x）=0，解得x=，
当x＞或x＜-时，f'（x）＜0；当-＜x＜且x≠0时，f'（x）＞0，
∴f（x）单调递减区间为（-∞，-），（，+∞），单调递增区间为（-，0），（0，），
综上得，当a≥0时，函数的f（x）的减区间为（-∞，0），（0，+∞）；
当a＜0时，减区间为（-∞，-），（，+∞），增区间为（-，0），0，）．