Question

已知函数f（x）的定义域为[-1，5]，部分对应值如下表，f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示． 下列关于f（x）的命题：

x	-1		4	5
f（x）	1	2	2	1

①函数f（x）的极大值点为0，4；
②函数f（x）在[0，2]上是减函数；
③如果当x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么t的最大值为4；
④当1＜a＜2时，函数y=f（x）-a有4个零点；
⑤函数y=f（x）-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的个数是（ ）

A．4
B．3
C．2
D．1

Answer

①由f（x）的导函数y=f′（x）的图象知函数f（x）的极大值点为0，4；②由在[0，2]上导函数为负知②正确；由f（x）=a知，极小值f（2）未知，无法判断函数y=f（x）-a有几个零点，④⑤依照相应理论即可判断
【解析】
①由f（x）的导函数y=f′（x）的图象知，
函数f（x）的极大值点为0，4，故①正确；
②因为在[0，2]上导函数为负，
故函数f（x）在[0，2]上是减函数，故②正确；
③由表中数据可得当x=0或x=4时，函数取最大值2，
若x∈[-1，t]时，f（x）的最大值是2，那么0≤t≤5，故t的最大值为5，即③错误；
④由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，
所以无法判断函数y=f（x）-a有几个零点，故④不正确；
⑤∵函数f（x）在定义域为[-1，5]共有两个单调增区间，两个单调减区间，
故函数y=f（x）-a的零点个数可能为0、1、2、3、4个，故⑤正确．
故答案为：B．