Question

已知函数f（x）=x³+ax²-a²x+m（a＞0）若对任意的a∈[3，6]，不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，则m的取值范围是    ．

Answer

求导函数，确定极值点，利用a的范围，确定极大值点不在取值范围内，而极小值点在取值范围内，从而只要保证x=-2，x=，x=2中的最小值，f（x））≤1就可以了．
【解析】
求导函数可得：f′（x）=3x2+2ax-a2，
令f′（x）=0，即（3x-a）（x+a）=0，所以x=-a或x=
∵a∈[3，6]，x∈[-2，2]，
令导数大于0可得x＜-a或x＞，令导数小于0可得-a＜x＜，又-a≤-3，
∴极大值点不在取值范围内，而极小值点在取值范围内．
∴要使不等式f（x）≤1在x∈[-2，2]上恒成立，只要保证x=-2与x=2时的函数值f（x））≤1就可以了． 
∵f（-2）=-8+4a+2a2+m，f（2）=8+4a-2a2+m，a∈[3，6]，
作差比较得f（-2）＞f（2）
∴只要f（-2）≤1即可
即：）=-8+4a+2a2+m≤1，m≤-2a2-4a+9
由a∈[3，6]得，-2a2-4a+9的最小值为-87
∴m≤-87