Question

（A题）已知x，y，z∈R⁺，且x+y+z=1．
（1）求证：；
（2）若λ（x²+y²+z²）≤x³+y³+z³恒成立，求实数λ的最大值．

Answer

（1）依题意，利用基本不等式1=x+y+z≥3＞0可求得0＜≤，同理即可证得++≥27；
（2）利用x3+y3+z3=（x3+y3+z3）（x+y+z）≥（x2+y2+z2）2及（x2+y2+z2）（12+12+12）≥（x+y+z）2=1，即可证得≥，而λ≤，从而可得答案．
证明（1）∵x，y，z∈R+，且x+y+z=1，
∴1=x+y+z≥3＞0，
∴0＜≤，
∴++≥=≥=27，
故++≥27当且仅当x=y=z=时等号成立…（6分）
（2）∵x，y，z∈R+，x+y+z=1且λ（x2+y2+z2）≤x3+y3+z3恒成立，
∴λ≤恒成立，
∵x3+y3+z3=（x3+y3+z3）（x+y+z）≥（x2+y2+z2）2，
又∵（x2+y2+z2）（12+12+12）≥（x+y+z）2=1，
∴x2+y2+z2≥，
∴x3+y3+z3≥（x2+y2+z2）⇒≥，当且仅当x=y=z=时等号成立．
∴λ≤，故实数λ的最大值为…（14分）