Question

（B题）设函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，（a，b，c，d∈R）．
（1）若f（x）=（1-2x）³，求3a+2b+c-d的值；
（2）若，y=f（x）在x=0处取得极值-1，且过点（0，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，求b的取值范围．

Answer

（1）由于函数f（x）=ax3+bx2+cx+d=（1-2x）3，则导函数也相等，令x=1，则可得3a+2b+c的值，再由二项式定理得到d，即可求3a+2b+c-d的值；
（2）由（1）及，y=f（x）在x=0处取得极值-1，可得c，d的值，设切点，求切线方程，得到，
要求过点（0，0）可作曲线y=f（x）的三条切线，即求有三个零点，
即是函数的极大值大于0或极小值小于0，即可求得实数b的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=（1-2x）3=ax3+bx2+cx+d，
对此等式两边同时求导数得：3（1-2x）2（-2）=3ax2+2bx+c，
令x=1得：3a+2b+c=-6，又由二项式定理知d=1
故3a+2b+c-d=-6-1=-7…（6分）
（2）∵f′（x）=x2+2bx+c，由题意可得f′（0）=0，f（0）=-1，解得c=0，d=-1
经检验，f（x）在x=0处取得极大值．∴…（8分）
设切点为（x，y），则切线方程为
即为…（9分）
因为切线方程为，
把（0，0）代入可得，
因为有三条切线，故方程有三个不同的实根．…（11分）
设
∵g′（x）=2x2+2bx，令g′（x）=2x2+2bx=0，可得x=0和x=-b

x （-∞，0） （0，-b） -b （-b，+∞）
g′（x） + 一 +
g（x） 增 极大值 减 极小值 增

因为方程有三个根，故极小值小于零，，所以…（14分）