Question

已知函数f（x）=2x+αlnx（α∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数f（x）的最小值为ϕ（α），求ϕ（α）的最大值；
（3）若函数f（x）的最小值为妒ϕ（α），m，n为ϕ（α）定义域A内的任意两个值，试比较   与的大小．

Answer

（1）函数的定义域为（0，+∞），求导函数可得f′（x）=2+，对a讨论，可得函数的单调性；
（2）由（1）知，当a≥0时，函数无最小值；当a＜0时，x=-时，函数取得最小值ϕ（α）=f（-）=-a+aln（-）
求导函数，确定函数的单调性，从而确定函数的极值与最值；
（3）ϕ（α）=-a+aln（-），则m，n为ϕ（α）定义域A内的任意两个值时，作差可得 -=，再换元，构造新函数，确定函数的单调性，从而得出结论．
【解析】
（1）函数的定义域为（0，+∞），求导函数可得f′（x）=2+
当a≥0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调增；
当a＜0时，令f′（x）＞0可得x＞-；令f′（x）＜0可得0＜x＜-，∴函数在（0，-）上单调减，在（-，+∞）上单调增；
（2）由（1）知，当a≥0时，函数无最小值；当a＜0时，x=-时，函数取得最小值ϕ（α）=f（-）=-a+aln（-）
求导函数可得ϕ′（α）=-1+ln（-）+1=ln（-），令ϕ′（α）=0，可得a=-2
∴当a＜-2时，ϕ′（α）＞0；当-2＜a＜0时，ϕ′（α）＜0
∴函数在a=-2时取得极大值，且为最大值ϕ（-2）=2；
（3）ϕ（α）=-a+aln（-），则m，n为ϕ（α）定义域A内的任意两个值时，
-==
不妨设m＜n＜0，则，令t=（t＞1），则-=
记u（t）==tln2t+ln2-（t+1）ln（t+1）（t＞1），则，即函数u（t）单调递增，从而u（t）＞u（1）=0
∵，∴-＜0
即＜．