Question

记f^（1）（x）=[f（x）]′，f^（2）（x）=[f^（1）（x）]′，…，f^（n）（x）=[f^（n-1）（x）]′（n∈N₊，n≥2）．若f（x）=xcosx，则f（0）+f^（1）（0）+f^（2）+L+f^（2013）（0）的值为    ．

Answer

先求出f（1）（x），f（2）（x），…f（5）（x），由f（0），f（1）（0），f（2）（0），f（5）（0），…可发现规律，从而可得到答案．
【解析】
由f（x）=xcosx，得f（1）（x）=cosx-xsinx，f（2）（x）=-sinx-sinx-xcosx=-2sinx-xcosx，
f（3）（x）=-2cosx-cosx+xsinx=-3cosx+xsinx，f（4）（x）=3sinx+sinx+xcosx=4sinx+xcosx，f（5）（x）=4cosx+cosx-xsinx=5cosx-xsinx，…，
则f（0）+f（1）（0）+f（2）+…+f（2013）（0）=0+1+0-3+0+5+0-…+2013=（1-3）+（5-7）+…+（2009-2011）+2013=-2×503+2013=1007，
故答案为：1007．