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高中数学试题
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已知函数,其中a为正实数,是f(x)的一个极值点. (Ⅰ)求a的值; (Ⅱ)当时...
已知函数
,其中a为正实数,
是f(x)的一个极值点.
(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)当
时,求函数f(x)在[b,+∞)上的最小值.
(Ⅰ)依题意,x=是函数y=f(x)的一个极值点,由f′()=0即可求得a的值; (Ⅱ)由(Ⅰ)知f′(x)=,令f′(x)=0,可求得极值点,通过对f(x)与f′(x)的变化情况列表,可求得f(x)的单调区间,再对b分<b<与b≥两类讨论即可求得函数f(x)在[b,+∞)上的最小值. 【解析】 f′(x)=, (Ⅰ)因为x=是函数y=f(x)的一个极值点, 所以f′()=0, 因此,a-a+1=0, 解得a=, 经检验,当a=时,x=是y=f(x)的一个极值点,故所求a的值为.…(4分) (Ⅱ)由(Ⅰ)可知,f′(x)=, 令f′(x)=0,得x1=,x2=, f(x)与f′(x)的变化情况如下: x (-∞,) (,) (,+∞) f′(x) + - + f(x) 所以,f(x)的单调递增区间是(-∞,),(,+∞).单调递减区间是(,). 当<b<时,f(x)在[b,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增, 所以f(x)在[b,+∞)上的最小值为f()=, 当b≥时,f(x)在[b,+∞)上单调递增, 所以f(x)在[b,+∞)上的最小值为f(b)==.…(13分)
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考点分析:
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试题属性
题型:解答题
难度:中等
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