已知函数，其中a＞0．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若直线x-y-1...

已知函数

，其中a＞0．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若直线x-y-1=0是曲线y=f（x）的切线，求实数a的值；
（Ⅲ）设g（x）=xlnx-x²f（x），求g（x）在区间[1，e]上的最大值．（其中e为自然对数的底数）

（Ⅰ）先求导函数，直接让导函数大于0求出增区间，导函数小于0求出减区间即可；（Ⅱ）直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点联立方程即可求实数a的值；（Ⅲ）先求出g（x）的导函数，分情况讨论出函数在在区间[1，e]上的单调性，进而求得其在区间[1，e]上的最大值．【解析】（Ⅰ）′因为函数， ∴f′（x）== f′（x）＞0⇒0＜x＜2，f′（x）＜0⇒x＜0，x＞2，故函数在（0，2）上递增，在（-∞，0）和（2，+∞）上递减．（Ⅱ）设切点为（x，y），由切线斜率k=1=，⇒x3=-ax+2，① 由x-y-1=x--1=0⇒（x2-a）（x-1）=0⇒x=1，x=±．把x=1代入①得a=1，把x=代入①得a=1，把x=-代入①得a=-1， ∵a＞0．故所求实数a的值为1 （Ⅲ）∵g（x）=xlnx-x2f（x）=xlnx-a（x-1）， ∴g′（x）=lnx+1-a，且g′（1）=1-a，g′（e）=2-a．当a＜1时，g′（1）＞0，g′（e）＞0，故g（x）在区间[1，e]上递增，其最大值为g（e）=a+e（1-a）；当1＜a＜2时，g′（1）＜0，g′（e）＞0，故g（x）在区间[1，e]上先减后增且g（1）=0，g（e）＞0．所以g（x）在区间[1，e]上的最大值为g（e）=a+e（1-a）；当a＞2时，g′（1），0，g′（e）＜0，g（x）在区间[1，e]上递减，故最大值为g（1）=0．

复制答案

考点分析：

相关试题推荐

某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中，上学所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）如果上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，请估计学校600名新生中有多少名学生可以申请住宿；
（Ⅲ）从学校的新生中任选4名学生，这4名学生中上学所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中新生上学所需时间少于20分钟的频率作为每名学生上学所需时间少于20分钟的概率）