Question

如图（1），在等腰梯形CDEF中，CB、DA是梯形的高，AE=BF=2，，现将梯形沿CB、DA折起，使EF∥AB且EF=2AB，得一简单组合体ABCDEF如图（2）示，已知M，N，P分别为AF，BD，EF的中点．
（1）求证：MN∥平面BCF；
（2）求证：AP⊥DE；
（3）当AD多长时，平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°？

Answer

（1）如图1，连接AC．利用矩形的性质可得N为AC的中点，利用三角形的中位线定理可得MN∥CF，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）利用线面垂直的判定定理可得AD⊥平面ABFE，得到AD⊥AP；利用平行四边形的判定和性质可得AP=BF，利用勾股定理的逆定理可得AP⊥AE，利用线面垂直的判定定理
可得AP⊥平面ADE．进而得到结论．
（3）解法一：如图所示，通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角公式即可得出二面角，解出即可；
解法二：点A作AK⊥DE交DE于K点，连结PK，则DE⊥PK，可得∠AKP为二面角A-DE-F的平面角，利用直角三角形的边角关系即可得出．
（1）证明：如图1，连接AC，∵四边形ABCD是矩形，N为BD中点，
∴N为AC中点，
在△ACF中，M为AF中点，故MN∥CF．
∵CF⊂平面BCF，MN⊄平面BCF，
∴MN∥平面BCF；
（2）证明：由题意知DA⊥AB，DA⊥AE 且AB∩AE=A，
∴AD⊥平面ABFE，
∵AP⊂平面ABFE，∴AP⊥AD，
∵P为EF中点，∴，
又AB∥EF，可得四边形ABFP是平行四边形．
∴AP∥BF，AP=BF=2．
∴AP2+AE2=PE2，∴∠PAE=90°，∴PA⊥AE．
又AD∩AE=A，∴AP⊥平面ADE．
∵DE⊂平面ADE，∴AP⊥DE．
（3）解法一：如图2，分别以AP，AE，AD所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系
设AD=m（m＞0），则A（0，0，0），D（0，0，m），E（0，2，0），P（2，0，0）．
∴，．
可知平面ADE的一个法向量为，
设平面DEF的一个法向量为，则，令x=1，则y=1，．
故．
∴，
由题意得，=cos60°，解得，
即时，平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°．
解法二：过点A作AK⊥DE交DE于K点，连结PK，则DE⊥PK，∴∠AKP为二面角A-DE-F的平面角，
由∠AKP=60°，AP=BF=2得AK=，
又AD•AE=AK•DE得，
解得，即时，平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60°．