Question

在平面直角坐标系xOy中，已知F₁（-4，0），直线l：x=-2，动点M到F₁的距离是它到定直线l距离的倍．设动点M的轨迹曲线为E．
（1）求曲线E的轨迹方程．
（2）设点F₂（4，0），若直线m为曲线E的任意一条切线，且点F₁、F₂到m的距离分别为d₁，d₂，试判断d₁d₂是否为常数，请说明理由．

Answer

（1）利用动点M到F1的距离是它到定直线l距离的倍，建立方程，化简可得曲线E的轨迹方程；
（2）分类讨论，设出切线方程代入双曲线方程，利用根的判别式及点到直线的距离公式，即可得到结论．
【解析】
（1）由题意，设点M（x，y），则有，点M（x，y）到直线的距离d=|x-（-2）|=|x+2|，故，化简后得：x2-y2=8．
故动点M的轨迹方程为x2-y2=8
（2）d1d2是常数，证明如下：
若切线m斜率不存在，则切线方程为，此时
当切线m斜率存在时，设切线m：y=kx+b，代入x2-y2=8，整理得：x2-（kx+b）2=8，
∴（1-k2）x2-2bkx-（b2+8）=0
由△=（-2bk）2+4（1-k2）（b2+8）=0，化简得：b2=8k2-8
又由m：kx-y+b=0，∴，
∴=常数．
综上，故对任意切线m，d1d2是常数