Question

已知a∈R，函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax，x∈R
（1）已知任意三次函数的图象为中心对称图形，若本题中的函数f（x）图象以P（2，m）为对称中心，求实数a和m的值
（2）若|a|＞1，求函数f（x）在闭区间[0，2|a|]上的最小值．

Answer

（1）解法一：由函数f（x）图象以P（2，m）为对称中心，取x=1，3，则f（1）+f（3）=2f（2），代入计算即可得到a，f（x），及m=f（2）；
解法二：由f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax，可得f′（x）=6[x2-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a），l利用对称中心可得，以下同解法一；
（2）利用导数的运算法则得到f′（x），由|a|＞1，分类讨论a＞1与a＜-1，得到其单调性与极值，进而得到最值．
【解析】
（1）解法一：由函数f（x）图象以P（2，m）为对称中心，
则f（1）+f（3）=2f（2），代入计算得：3a-1+27-9a=8，∴a=3，
故f（x）=2x3-12x2+18x，
则m=f（2）=16-48+36=4
解法二：由f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax，∴f'（x）=6[x2-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a），
则a+12=2，则a=3，故f（x）=2x3-12x2+18x，
则m=f（2）=16-48+36=4
（2）由f'（x）=6[x2-（a+1）x+a]=6（x-a）（x-1），
因为|a|＞1，∴a＜-1或a＞1，讨论：
1．若a＜-1，如下表：

x （0，1） 1 （1，2|a|）
f'（x） - +
f（x） ↘ 3a-1 ↗

则此时fmin（x）=f（1）=3a-1．
若a＞1时，如下表：

x （0，1） 1 （1，a） a （a，2|a|）
f'（x） + - +
f（x） ↗ 3a-1 ↘ 3a2-a3 ↗

由f（0）=0，f（a）=3a2-a3=a2（3-a），
i）当1＜a≤3时，f（a）≥f（0），则fmin（x）=f（0）=0；
ii）当a＞3时，f（a）＜f（0），则fmin（x）=f（a）=3a2-a3；

综上所述：fmin（x）=．