Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，对于任意的n≥2，恒有S_n=2S_n-1+n，（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n
（2）若，证明：．

Answer

（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可得数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列，从而可求数列的通项；
（2）确定cn的表达式，利用二项式定理进行放缩，再用裂项法求和，即可证得结论；也可以利用数学归纳法证明当n≥2时，总有2n≥n+2，从而可得结论．
（1）【解析】
当n≥2时，Sn=2Sn-1+n，又Sn+1=2Sn+n+1，
两式相减得：an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1），
又a1=1，S2=2S1+2，得a2=3，满足a2+1=2（a1+1），
∴数列{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．
∴，∴．
（2）证明：由（1）可知∴，∴
由
因为
故，
由
当n≥3时，
则不等式成立．
另【解析】
2n+1-n-2=2n+（2n-n-2），当n≥2时，总有2n≥n+2（用数学归纳法证明，略）
当n=1，c1=1＜2
则n≥2时，
故
则不等式成立．