Question

对于函数f（x），若存在x=f（x），则称x为f（x）的不动点．已知函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点；
（2）对于任意实数b，函数f（x）恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下若函数f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且A，B两点关于直线对称，求b的最小值．

Answer

（1）根据所给的a，b的值写出函数f（x）=x2 -x-3，根据当x=f（x），称x为f（x）的不动点，得到x2-x-3=x，得两个不动点为-1，3．
（2）f（x）恒有两个不动点，等价于关于x的方程ax2+bx+b-1=0有两个相异的实根，得到△=b2-4a（b-1）＞0，即b2-4ab+4a＞0恒成立，又要用二次函数的判断时来求出结果．
（3）设出A，B两个点的坐标，写出两个点的中点坐标，根据中点在一条直线上，代入直线的方程，把b整理成含有a的代数式的形式，根据基本不等式求出最小值．
【解析】
（1）当a=1，b=-2时，函数f（x）=x2 -x-3．
∵当x=f（x），称x为f（x）的不动点
∴x2-x-3=x，得两个不动点为-1，3；
（2）f（x）恒有两个不动点，等价于关于x的方程ax2+bx+b-1=0有两个相异的实根，
∴△=b2-4a（b-1）＞0，
即b2-4ab+4a＞0恒成立．∴△′=16a2-16a＜0，解得0＜a＜1．
（3）设A、B两点的横坐标分别为x1，x2，则AB中点的横坐标为，
A，B两点关于直线对称则k=-1
从而纵坐标为，又AB的中点在直线y=x上，
∴，得，
当且仅当，即时，．