Question

已知函数．
（I）如果对任意x∈[1，2]，f′（x）＞a²恒成立，求实数a的取值范围；
（II）设函数f（x）的两个极值点分别为x₁，x₂判断下列三个代数式：①x₁+x₂+a，②，③
中有几个为定值？并且是定值请求出；若不是定值，请把不是定值的表示为函数g（a），并求出g（a）的最小值．

Answer

（I）根据函数f（x）表达式，求出其导数f'（x）=x2+（a-3）x+a2-3a，因此将不等式f′（x）＞a2化简成（x-3）（x+a）＞0，对任意x∈[1，2]恒成立，从而得到x+a＜0对x∈[1，2]恒成立，由此即可得到实数a的取值范围；
（II）根据题意，结合一元二次方程根与系数的关系与根的判别式，可得x1+x2+a=3为定值，且也为定值．而化简=3a3-9a2+27可得它不是定值，从而得到g（a）=3a3-9a2+27（-1＜a＜3），利用导数研究g（a）在区间（-1，3）上的单调性，并结合函数值的大小比较，即可得到出g（a）的最小值．
【解析】
（I）由．
得f'（x）=x2+（a-3）x+a2-3a，对任意x∈[1，2]，f'（x）＞a2恒成立，
即x2+（a-3）x-3a＞0，（x-3）（x+a）＞0对任意x∈[1，2]恒成立，
又x-3＜0恒成立，所以x+a＜0对x∈[1，2]恒成立，所以a＜-x恒成立，
所以a＜-2．…（4分）
（II）依题意知x1，x2恰为方程f'（x）=x2+（a-3）x+a2-3a=0的两根，
所以解得-1＜a＜3…（5分）
所以①x1+x2+a=3为定值，…（6分）
②为定值，…（7分）
③不是定值
即g（a）=3a3-9a2+27（-1＜a＜3），可得g'（a）=9a2-18a，
当a∈[-1，0]时，g'（a）＞0，g（a）=3a3-9a2+27在a∈[-1，0]是增函数，
当a∈[0，2]时，g'（a）＜0，g（a）=3a3-9a2+27在a∈[-1，0]是减函数，
当a∈[2，3]时，g'（a）＞0，g（a）=3a3-9a2+27在a∈[2，3]是增函数，
因此，g（a）在（-1，3）上的最小值是g（-1）与g（2）中较小的一个，
又∵g（-1）=15；g（2）=15
∴g（a）=3a3-9a2+27（-1＜a＜3）的最小值为15（a=2时取到）．…（12分）