Question

已知f（x）=，（a＞0且a≠1）
（1）判断f（x）的奇偶性．
（2）讨论f（x）的单调性．
（3）当x∈[-1，1]时，f（x）≥b恒成立，求b的取值范围．

Answer

（1）由函数的解析式可求函数的定义域，先证奇偶性：代入可得f（-x）=-f（x），从而可得函数为奇函数；
（2）再证单调性：利用定义任取x1＜x2，利用作差比较f（x1）-f（x2）的正负，从而确当f（x1）与f（x2）的大小，进而判断函数的单调性；
（3）对一切x∈[-1，1]恒成立，转化为b小于等于f（x）的最小值，利用（2）的结论求其最小值，从而建立不等关系解之即可．
【解析】
（1）∵f（x）=，
所以f（x）定义域为R，
又f（-x）=（a-x-ax）=-（ax-a-x）=-f（x），
所以函数f（x）为奇函数，
（2）任取x1＜x2
则f（x2）-f（x1）=（ax2-ax1）（1+a-（x1+x2））
∵x1＜x2，且a＞0且a≠1，1+a-（x1+x2）＞0
①当a＞1时，a2-1＞0，ax2-ax1＞0，则有f（x2）-f（x1）＞0，
②当0＜a＜1时，a2-1＜0．，ax2-ax1＜0，则有f（x2）-f（x1）＞0，
所以f（x）为增函数；
（3）当x∈[-1，1]时，f（x）≥b恒成立，
即b小于等于f（x）的最小值，
由（2）知当x=-1时，f（x）取得最小值，最小值为（）=-，
∴b≤-．
求b的取值范围（-∞，-]．