Question

已知函数．
（Ⅰ）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最小值；
（Ⅲ）若对任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由已知当x=1时，f（x）取得极值，所以必有f′（1）=0，据此可求出a的值，再验证a的值是否满足取得的极值条件即可．
（Ⅱ）先对函数f（x）求导得f′（x），需要对a进行分类讨论，看其在区间（0，1）或其子区间上f′（x）与0进行比较，可得到其单调性，进而求出其最小值．
（Ⅲ）因为∀m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，所以f'（x）=x2-a≠-1对x∈R成立，进而求出a的取值范围即可．
【解析】
（I）∵f'（x）=x2-a，
当x=1时，f（x）取得极值，∴f'（1）=1-a=0，a=1．
又当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在x=1处取得极小值，即a=1符合题意            
（II） 当a≤0时，f'（x）＞0对x∈（0，1]成立，
∴f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1．
当a＞0时，令f'（x）=x2-a=0，，
当0＜a＜1时，，当时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．
所以f（x）在处取得最小值．
当a≥1时，，x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减
所以f（x）在x=1处取得最小值．
综上所述：
当a≤0时，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1．
当0＜a＜1时，f（x）在处取得最小值．
当a≥1时，f（x）在x=1处取得最小值．
（III）因为∀m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，
所以f'（x）=x2-a≠-1对x∈R成立，
只要f'（x）=x2-a的最小值大于-1即可，
而f'（x）=x2-a的最小值为f（0）=-a
所以-a＞-1，即a＜1．