Question

已知函数g（x）=，f（x）=g（x）-ax．
（1）求函数g（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（3）若存在x₁，x₂∈[e，e²]，使f（x₁）≤f^′（x₂）+a，求实数a的取值范围．

Answer

（1）根据解析式求出g（x）的定义域和g′（x），再求出临界点，求出g′（x）＜0和g′（x）＞0对应的解集，再表示成区间的形式，即所求的单调区间；
（2）先求出f（x）的定义域和f′（x），把条件转化为f′（x）≤0在（1，+∞）上恒成立，再对f′（x）进行配方，求出在x∈（1，+∞）的最大值，再令f′（x）max≤0求解；
（3）先把条件等价于“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，由（2）得f′（x）max，并把它代入进行整理，再求f′（x）在[e，e2]上的最小值，结合（2）求出的a的范围对a进行讨论：和，分别求出f′（x）在[e，e2]上的单调性，再求出最小值或值域，代入不等式再与a的范围进行比较．
（1）【解析】
由得，x＞0且x≠1，
则函数g（x）的定义域为（0，1）∪（1，+∞），
且g′（x）=，令g′（x）=0，即lnx-1=0，解得x=e，
当0＜x＜e且x≠1时，g′（x）＜0；当x＞e时，g′（x）＞0，
∴函数g（x）的减区间是（0，1），（1，e），增区间是（e，+∞），
（2）由题意得函数f（x）=在（1，+∞）上是减函数，
∴f′（x）=-a≤0在（1，+∞）上恒成立，
即当x∈（1，+∞）时，f′（x）max≤0即可，
又∵f′（x）=-a==，
∴当时，即x=e2时，．
∴，得，故a的最小值为．
（3）命题“若存在x1，x2∈[e，e2]，使f（x1）≤f′（x2）+a成立”等价于
“当x∈[e，e2]时，有f（x）min≤f′（x）max+a”，
由（2）得，当x∈[e，e2]时，，则，
故问题等价于：“当x∈[e，e2]时，有”，
当时，由（2）得，f（x）在[e，e2]上为减函数，
则，故，
当时，由于f′（x）=在[e，e2]上为增函数，
故f′（x）的值域为[f′（e），f′（e2）]，即[-a，]．
（i）若-a≥0，即a≤0，f′（x）≥0在[e，e2]恒成立，故f（x）在[e，e2]上为增函数，
于是，，不合题意．
（ii）若-a＜0，即0＜，由f′（x）的单调性和值域知，
存在唯一x∈（e，e2），使f′（x）=0，且满足：
当x∈（e，x）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（x，e2）时，f′（x）＜0，f（x）为增函数；
所以，f（x）min=f（x）=≤，x∈（e，e2），
所以，a≥，与0＜矛盾，不合题意．
综上，得．