Question

已知经过同一点的n（n∈N^*，n≥3）个平面，任意三个平面不经过同一条直线．若这n个平面将空间分成f（n）个部分，则f（3）=    ，f（n）=    ．

Answer

两个平面把空间分成4个部分，增加一平面，与前两个平面不过同一直线，则第三个平面与前两个平面有两条交线，两条交线把第三个平面分成两个部分，每一部分将其所在的空间一分为二，则三个平面把空间分成8个部分，即f（3）=8=32-3+2；类比此结论可得过同一点且不经过同一直线的n个平面把空间分成n2-n+2个部分．
【解析】
因为两个相交平面把空间分成四个部分，若第三个平面和前两相交平面经过同一点，且三个平面不过同一直线，则第三个平面与前两个平面的交线相交，这样能把空间分成8个部分，即f（3）=8=32-3+2；
有n个面时，再添加1个面，与其它的n个面有n条交线，n条交线将此平面分成2n个部分，
每一部分将其所在空间一分为二，
则 f（n+1）=f（n）+2n．
利用叠加法，
则 f（n）-f（1）=[2+4+6+…+2（n-1）]
=
∴f（n）=n2-n+2．
故答案为8，n2-n+2．