Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，底面△ABC中，CA=CB=1，BCA=90°，棱AA₁=2，M、N分别是A₁B₁、A₁A的中点．
（1）求的长；
（2）求，＞的值；
（3）求证A₁B⊥C₁M．

Answer

由直三棱柱ABC-A1B1C1中，由于BCA=90°，我们可以以C为原点建立空间直角坐标系O-xyz．
（1）求出B点N点坐标，代入空间两点距离公式，即可得到答案；
（2）分别求出向量，的坐标，然后代入两个向量夹角余弦公式，即可得到，＞的值；
（3）我们求出向量，的坐标，然后代入向量数量积公式，判定两个向量的数量积是否为0，若成立，则表明A1B⊥C1M
【解析】
如图，以C为原点建立空间直角坐标系O-xyz．
（1）依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴（2分）
（2）依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2）．
∴，，，，（5分）
∴cos＜（9分）
（3）证明：依题意得C1（0，0，2），M=（-1，1，-2），=，
∴=，
∴（12分）