Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
（1）求证：直线A₁C₁⊥面BDD₁B₁；
（2）若AA₁=2，求四棱锥D₁-ABCD的体积．

Answer

（1）根据正方体的性质，得到BB1⊥平面A1B1C1D1，从而BB1⊥A1C1，结合正方形A1B1C1D1中B1D1⊥A1C1，利用线面垂直判定定理即可证出直线A1C1⊥面BDD1B1；
（2）由AA1=2算出正方形ABCD的面积为4，由DD1⊥平面ABCD得到DD1=2为四棱锥D1-ABCD的高，由此结合锥体的体积公式即可算出四棱锥D1-ABCD的体积．
【解析】
（1）BB1⊥平面A1B1C1D1，且A1C1⊂平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1…（2分）
∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴B1D1⊥A1C1…（4分）
又∵BB1⊂平面BDD1B1，B1D1⊂平面BDD1B1，BB1∩B1D1=B…（6分）
∴直线A1C1⊥面BDD1B1；…（8分）
（2）∵AA1=2，可得正方形ABCD的边长等于2，
∴正方形ABCD的面积S=2×2=4…（10分）
∵DD1⊥平面ABCD，∴DD1为四棱锥D1-ABCD的高…（12分）
∴V=×SABCD×DD1=，
即四棱锥四棱锥D1-ABCD的体积为．…（14分）