Question

设数列{a_n}的前n项和为．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）证明：{a_n+1-2a_n}是等比数列；
（3）求{a_n}的通项公式．

Answer

（1）利用，n分别取1，2，3，代入计算可求a1，a2，a3；
（2）利用，再写一式，化简即可证明{an+1-2an}是等比数列；
（3）由，可得n≥2时，=+1，利用累加法，即可求{an}的通项公式．
（1）【解析】
∵，∴，∴a1=2．…（1分）
=2+22=6…（2分）
=8+23=16…（3分）
（2）证明：∵，
∴当n≥2时，…（4分）
∴两式相减可得…（6分）
∴=2，…（7分）
∴{an+1-2an}是首项为2，公比为2的等比数列．…（8分）
（3）【解析】
由（2）得，
∴n≥2时，=+1…（10分）
由累加法可得
∴an=（n+1）•2n-1．…（12分）
当n=1时，a1=2也满足上式，…（13分）
∴an=（n+1）•2n-1…（14分）