Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，AB=AD=AP=1，，E和F分别是CD和PC的中点．
（1）求证：PA⊥底面ABCD；
（2）求证：平面FBE∥平面PAD；
（3）求三棱锥F-BCE的体积．

Answer

（Ⅰ）利用已知可得PA2+AD2=PD2，PA2+AD2=PD2，利用勾股定理的逆定理可得PA⊥AD，PA⊥AB，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（II）利用已知条件可得ABED为平行四边形，得到BE∥AD；利用三角形的中位线定理可得EF∥DP，再利用面面平行的判定定理即可证明；
（Ⅲ）由（Ⅰ）知PA⊥底面ABCD，又已知AP=1，F是PC的中点，得F到底面ABCD的距离为，利用三角形的面积公式得到△BCE的面积，利用三棱锥的体积公式得到三棱锥F-BCE的体积．
（Ⅰ）证明：∵AB=AD=AP=1，，
∴PA2+AD2=PD2，∴PA2+AD2=PD2，
∴∠PAD=90°，∴PA⊥AD，
同理可得：PA⊥AB，AB∩AD=A
∴PA⊥底面ABCD．
（Ⅱ）证明：∵AB∥CD，CD=2AB，E是CD的中点，
∴ABED为平行四边形，
∴BE∥AD，
又∵BE⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
由于EF是△PCD的中位线，∴EF∥DP，
同理得∴EF∥平面PAD，
又EF∩BE=E，
∴平面FBE∥平面PAD．
（Ⅲ）由（Ⅰ）知PA⊥底面ABCD，
由已知AP=1，F是PC的中点，得F到底面ABCD的距离为，
由已知AB∥CD，AB⊥AD，CD=2AB，AB=AD=1，
S△BCE=，
∴三棱锥F-BCE的体积V=．