(Ⅰ)求出函数导数,根据f'(2)=1,即可得到a的值.
(Ⅱ)当a=0时,求函数f(x)的导数,令导数等于0,解得极值点,再借助函数在定义域上的单调性,判断极值点处取得最大值.
(Ⅲ)求出函数的导数,令导数大于0,解得函数的增区间,令导数小于0,解得函数的减区间.因为函数中含有参数,注意对参数讨论.
【解析】
(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞),.
由f'(2)=1,解得.
(Ⅱ)由f(x)=lnx-x,得.
由,解得0<x<1;由,解得x>1.
所以函数f(x)在区间(0,1)递增,(1,+∞)递减.
因为x=1是f(x)在(0,+∞)上唯一一个极值点,
故当x=1时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(1)=-1.
(Ⅲ)因为
(1)当a=0时,.令解得0<x<1
(2)a>0时,
令,解得或x=1.
(ⅰ)当即0<a<1时,
由,及x>0得 ax2-(a+1)x+1>0,
解得0<x<1,或;
(ⅱ)当即a=1时,
因为x>0,恒成立.
(ⅲ)当即a>1时,由,及x>0得 ax2-(a+1)x+1>0,
解得,或x>1;
综上所述,
当a=0时,函数f(x)的递增区间是(0,1);
当0<a<1时,函数f(x)的递增区间是(0,1),;
当a=1时,函数f(x)的递增区间是(0,+∞);
当a>1时,函数f(x)的递增区间是,(1,+∞).