Question

已知函数f（x）=x++a，x∈[1，+∞），且a＜1
（1）判断f（x）单调性并证明；
（2）若m满足f（3m）＞f（5-2m），试确定m的取值范围．
（3）若函数g（x）=xf（x）对任意x∈[2，5]时，g（x）+2x+＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）利用函数单调性定义去证明函数的单调性．
（2）利用（1）的证明结论，利用函数的单调性求参数m的取值范．
（3）要使g（x）+2x+＞0恒成立，实质是最值恒成立，只需求出函数g（x）+2x+的最小值即可，在求最小值的过程中可以使用基本不等式来求．
【解析】
（1）由题得f（x）=x++a，设1≤x1＜x2，
则…（2分）
因为1≤x1＜x2，所以x1-x20．所以f（x1）-f（x2）＜0…（4分）
所以f（x1）＜f（x2），即f（x）在[1，+∞）上为增函数．…（5分）
（2）由（1）得：f（x）在[1，+∞）上为增函数，要满足f（3m）＞f（5-2m），
只要1≤5-2m＜3m，得1＜m≤2…（7分）
（3）g（x）=xf（x）=x2+ax+a，由g（x）+2x+＞0得：，即 ①
因为x∈[2，5]时，x+1∈[3，6]，那么①式可转化为…（9分）
所以题目等价于化为在x∈[2，5]上恒成立．即a大于函数在x∈[2，5]上的最大值．
即求在x∈[2，5]上的最小值．…（10分）
令t=x+1，则t∈[3，6]，所以，由（1）得，
在t∈[3，6]，上为增函数，所以最小值为．所以-．…（12分）