Question

设函数的定义域为E，值域为F．
（1）若E={1，2}，判断实数λ=lg²2+lg2lg5+lg5-与集合F的关系；
（2）若E={1，2，a}，F={0，}，求实数a的值．
（3）若，F=[2-3m，2-3n]，求m，n的值．

Answer

（1）由已知中函数f（x）的解析式，将x∈{1，2}代入求出集合E，利用对数的运算性质求出λ，进而根据元素与集合的关系可得答案；
（2）分别令f（a）=0，即，令f（a）=，即可求出实数a的值．
（3）求出函数f（x）的导函数，判断函数的单调性，进而根据函数f（x）的值域为[2-3m，2-3n]，x∈[，]，m＞0，n＞0构造关于m，n的方程组，进而得到m，n的值．
【解析】
（1）∵，∴当x=1时，f（x）=0；当x=2时，f（x）=，∴F={0，}．
∵λ=lg22+lg2lg5+lg5-16=lg2（lg2+lg5）+lg5-=lg2+lg5-=lg10-=．
∴λ∈F．…（5分）
（2）令f（a）=0，即，a=±1，取a=-1；
令f（a）=，即，a=±2，取a=-2，
故a=-1或-2．…（9分）
（3）∵是偶函数，且f'（x）=＞0，
则函数f（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数．
∵x≠0，∴由题意可知：或0＜．
若，则有，即，
整理得m2+3m+10=0，此时方程组无解；
若0＜，则有，即，
∴m，n为方程x2-3x+1=0，的两个根．∵0＜，∴m＞n＞0，
∴m=，n=．…（16分）