Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，且4a_n+1-a_na_n+1+2a_n=9（n∈N^*）．
（1）求a₂，a₃，a₄的值，并猜想{a_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

Answer

（1）由a1=1，且4an+1-anan+1+2an=9即可求得a2，a3，a4的值，从而可猜想{an}的通项公式；
（2）由（1）猜得an=，利用数学归纳法证明，分三步：①当n=1时，猜想成立；②设当n=k（k∈N*）时，猜想成立，去证明n=k+1时猜想也成立（应用上归纳假设），③综上所述，即可证得猜想成立．
【解析】
（1）由4an+1-anan+1+2an=9得an+1==2-，
∵a1=1，
∴a2=2-（-）=，
同理可求，a3=，a4=，猜想an=             …（5分）
（2）证明：①当n=1时，猜想成立．
②设当n=k（k∈N*）时，猜想成立，即ak=，
则当n=k+1时，有ak+1=2-=2-==，
所以当n=k+1时猜想也成立．
综合①②，猜想对任何n∈N*都成立．                      …（10分）