Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，前n项积为T_n．
（1）若2S_n=1-a_n，n∈N⁺，求a_n．
（2）若2T_n=1-a_n，a_n≠0，证明{}为等差数列，并求a_n．
（3）在（2）的条件下，令M_n=T₁•T₂+T₂•T₃+…+T_n•T_n+1，求证：．

Answer

（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，可求数列通项；
（2）由2Tn=1-an，可得-=2，从而可证{}为等差数列，即可求an；
（3）利用裂项法求数列的和，即可证得结论．
（1）【解析】
∵2Sn=1-an，∴n≥2时，2Sn-1=1-an-1，
两式相减可得an=an-1，
∵2S1=1-a1，∴a1=
∴；
（2）证明：∵2Tn=1-an，∴2Tn=1-，
∴-=2
∴{}为等差数列；
∵T1=a1=
∴=2n+1
∴Tn=，；
（3）证明：∵Tn=，∴TnTn+1==（-）
∴Mn=T1•T2+T2•T3+…+Tn•Tn+1=[++…+（-）]=
∴．