Question

，x₁=1，x_n=f（x_n-1）（n∈N且n≥2），
（1）计算x₂，x₃，x₄的值；
（2）并猜想x_n（n∈N₊）的值；
（3）用数学归纳法证明你的结论．

Answer

（1）利用函数解析式，代入计算，可得结论；
（2）由（1）猜想结论；
（3）利用数学归纳法的证明步骤，证明即可．
【解析】
（1）∵，x1=1，xn=f（xn-1），
∴x2=，x3=，x4=；
（2）猜想xn=（n∈N+）              （*）      
（3）①当n=1时，x1=1=，（*）成立；        
②假设n=k时（*）成立，即xk=
当n=k+1时，xk+1=f（xk）=
即当n=k+1时，（*）成立      
根据①和②，可知对任何n∈N+（*）都成立．