Question

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=和x=1时都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）求f（x）在[-1，2]上的最大值和最小值（用含c的代数式表示）；
（3）若对x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer

（1）利用导数与极值之间的关系建立方程求解．（2）利用导数通过表格求函数的最大值和最小值．（3）不等式恒成立，实质是求f（x）在[-1，2]的最大值．
【解析】
（1）f′（x）=3x2+2ax+b      …1
因为函数f（x）在x=-和x=1取到极值，即f′（-）=0，f′（1）=0．
所以，f′（-）=，f′（1）=3+2a+b=0
解得 a=-，b=-2        …3

（2）由（1）可得f（x）=x3-x2-2x+c

x -1 （-1，-） - （-，1） 1 （1，2） 2
f'（x） + - +
f（x） +c 递增 +c 递减 -+c 递增 2+c

所以，在[-1，2]上  fmin（x）=f（1）=-+c，fmax（x）=f（2）=2+c…7
（3）要使f（x）＜c2在x∈[-1，2]恒成立，只需fmax（x）＜c2，即2+c＜c2
解得 c＜-1或c＞2     …10