Question

已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？
（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．

Answer

（Ⅰ）由，，能导出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设直线BD的方程为，，△=-8b2+64＞0，设d为点A到直线BD：的距离，由，故，由此知当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．
（Ⅲ）设D（x1，y1），B（x2，y2），直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，则kAD+kAB==，由此能导出即kAD+kAB=0．
【解析】
（Ⅰ）∵，，a2=b2+c2
∴a=2，，∴（5分）
（Ⅱ）设直线BD的方程为∴∴△=-8b2+64＞0，①②∵，
设d为点A到直线BD：的距离，∴∴，
当且仅当b=±2时取等号．
因为±2，所以当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为（10分）
（Ⅲ）设D（x1，y1），B（x2，y2），
直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，
则kAD+kAB==*
将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得=0，
即kAD+kAB=0（14分）