Question

设数列{a_n}满足：a₁=1，
（1）求a₂，a₃；  
（2）令，求数列{b_n}的通项公式；
（3）已知f（n）=6a_n+1-3a_n，求证：．

Answer

（1）由于数列{an}满足：a1=1，，先求出a2，再求出a3．
（2）由 ，可得 ，代入 化简可得
2（bn+1-3）=bn-3，故{bn-3}是以2为首项，以为公比的等比数列，由此求出数列{bn}的通项公式．
（3）先根据求出an，化简f（n）=6an+1-3an =（）（）．再由当n≥2时，•=1+＞1
可得f（1）•f（2）…f（n）＞（）（）=+＞．
【解析】
（1）∵数列{an}满足：a1=1，，
∴a2==，
==．
（2）∵，∴，代入  得
=，化简可得 4=，即 2bn+1=bn+3．
∴2（bn+1-3）=bn-3，∴{bn-3}是以2为首项，以为公比的等比数列，
∴bn-3=2，∴bn=+3．
（3）证明：∵已知 ==，
故 f（n）=6an+1-3an =6[]-3（）=1- 
=（）（）．
当n≥2时，有•=+-=1+＞1．
∴f（1）•f（2）…•f（n）=（）（）•（）（）…（）（）
＞（）（）=+＞．
故要证的不等式 成立．