Question

已知椭圆E：的右焦点F，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于A，B两点，且，|AB|最小值为2．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若圆：的切线l与椭圆E相交于P，Q两点，当P，Q两点横坐标不相等时，问：OP与OQ是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）设A（x，y）B（-x，y）F（c，0）（c2=a2+b），由椭圆定义及可求a，而
可求b，进而可求椭圆方程
（Ⅱ）由题设条件可知直线的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+m，由L与圆相切，可得
L的方程为y=kx+m代入中得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，△=8（2k2+1-m2）＞0令P（x1，y1），
Q（x2，y2），，要证，只要证明即可
【解析】
（Ⅰ）设A（x，y）B（-x，y）F（c，0）（c2=a2+b）
则-----------------------------------------（1分）
∵0≤x2≤a2∴|AB|min=2b=2∴b=1所以有椭圆E的方程为-----------------（5分）
（Ⅱ）由题设条件可知直线的斜率存在，设直线L的方程为y=kx+m
L与圆相切，
∴
∴-----------------（7分）
L的方程为y=kx+m代入中得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2-2=0，
△=8（2k2+1-m2）＞0令P（x1，y1），Q（x2，y2），
①
②
③--------------------（10分）
∴------------------------------------------------------（12分）