Question

已知函数f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），g（x）=log_a（x+1）+log_a（x-1）（其中a＞1）；
（1）求出函数f（x），g（x）的定义域；
（2）求函数f（x），g（x）的奇偶性．

Answer

（1）由使f（x）的解析式x+1＞0，且1-x＞0，由此求得x的范围，即可得到函数f（x）的定义域．对于函数g（x），由解析式可得 ，由此求得它的定义域．
（2）对于函数y=f（x），由于它的定义域关于原点对称，且f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．由于函数g（x）的定义域不关于原点对称，可得函数g（x）为非奇非偶函数
【解析】
（1）由于已知函数 f（x）=loga（x+1）-loga（1-x），g（x）=loga（x+1）+loga（x-1）（其中a＞1），
要使f（x）有意义，则要：x+1＞0，且1-x＞0．
解得：-1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域为{x|-1＜x＜1}．
对于函数g（x），由解析式可得 ，解得x＞1，故它的定义域为（1，+∞）．
（2）对于函数y=f（x），由于它的定义域为（-1，1），关于原点对称，且f（-x）=loga（-x+1）-loga（1+x）=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
由于函数g（x）的定义域为{x|x＞1}，不关于原点对称，故函数g（x）既不是奇函数，也不是偶函数．