Question

设关于x的函数f（x）=4^x-2^x+1-b（b∈R），
（1）若函数有零点，求实数b的取值范围；
（2）当函数有零点时，讨论零点的个数，并求出函数的零点．

Answer

（1）原函数零点即方程）=4x-2x+1-b=0 的根．化简可得 b=4x-2x+1=（2x-1）2-1≥-1，由此可得b的范围．
（2）分①当b=-1 时，②当 0＞b＞-1 时，③当b≥0时，④当b＜-1时四种情况，分别由条件求得2x 的值，求得x的值，从而得出结论．
【解析】
（1）原函数零点即方程）=4x-2x+1-b=0 的根．
化简方程为b=4x-2x+1=22x-2•2x=（2x-1）2-1≥-1，
故当b的范围为[-1，+∞）时函数存在零点．
（2）①当b=-1 时，2x=1，∴方程有唯一解x=0．
②当 0＞b＞-1 时，∵（2x-1）2=1+b＞0，可得 2x=1+，或2x=1-，
解得 x=，或x=，故此时方程有2个解．…（9分）
③当b≥0时，∵（2x-1）2=1+b＞1，可得 2x=1+，或2x=1- （舍去），
解得 x=，故此时方程有唯一解．
④当b＜-1时，∵（2x-1）2=1+b＜0，2x 无解，原方程无解．
综上可得，1）当-1＜b＜0时原方程有两【解析】
x=，或x=；
2）当 b≥0 时，方程有唯一解 x=，当b=-1 时，原方程有唯一解 x=0；
3）当b＜-1 时，原方程无解．