Question

设V是全体平面向量构成的集合．若映射f：V→R满足：对任意向量a=（x₁，y₁）∈V，b=（x₂，y₂）∈V，以及任意λ∈R，均有f（λa+（1-λ）b）=λf（a）+（1-λ）f（b），则称映射f具有性质P．现给出如下映射：
①f₁：V→R，f₁（m）=x+y+1，m=（x，y）∈V；
②f₂：V→R，f₂（m）=x-y，m=（x，y）∈V；
③f₃：V→R，f₃（m）=x²+y，m=（x，y）∈V．
其中，具有性质P的映射的序号为    ．（写出所有具有性质P的映射的序号）

Answer

求出两个向量的和的坐标；分别对三个函数求f[λ a+（1-λ） b]与λf（ a）+（1-λ）f（ b）的值，判断哪个函数具有f[λ a+（1-λ） b]=λf（ a）+（1-λ）f（ b）即可．
【解析】
设 a=（x1，y1），b=（x2，y2），则λ a+（1-λ） b=（λx1+（1-λ）x2，λy1+（1-λ）y2），
对于①，f[λa+（1-λ）b]=λx1+（1-λ）x2+λy1+（1-λ）y2+1=λ（x1+y1）+（1-λ）（x2+y2）+1
而λf（ a）+（1-λ）f（ b）=λ（x1+y1+1）+（1-λ）（x2+y2+1）═λ（x1+y1）+（1-λ）（x2+y2）+1，
f1满足性质p；
对于②，f[λ a+（1-λ） b]=λx1+（1-λ）x2-λy1-（1-λ）y2=λ（x1-y1）+（1-λ）（x2-y2）
而λf（ a）+（1-λ）f（ b）=λ（x1-y1）+（1-λ）（x2-y2），f2满足性质P
对于③，f2（λa+（1-λb））=[λx1+（1-λ）x2]2+[λy1+（1-λ）y2]，λf2（a）+（1-λ）f2（b）=λ（x12+y1）+（1-λ）（x22+y2）
∴f2（λa+（1-λb））≠λf2（a）+（1-λ）f2（b），∴映射f3不具备性质P．
故答案为：①②