Question

设f （x）是奇函数，对任意的实数x、y，有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f （x）＜0，则f （x）在区间[a，b]上（ ）
A．有最大值f（a）
B．有最小值f（a）
C．有最大值
D．有最小值

Answer

利用函数单调性的定义，先设x1＜x2得x2-x1＞0，结合题意得f（x2-x1）＜0，再结合（x+y）=f（x）+f（y）得
f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）＜0，最后利用函数为奇函数得到f（x2）-f（x1）＜0，得到函数为R上的减函数．由此不难得到正确选项．
【解析】
任取x1＜x2，x2-x1＞0，
∵当x＞0时，f （x）＜0，
∴f（x2-x1）＜0
即f（x2）+f（-x1）＜0；
∵f （x）是奇函数，
∴有f（x2）-f（x1）＜0
∴f（x2）＜f（x1）
∴f（x）在R上递减．
∴f（x）在区间[a，b]上有最大值f（a），最小值f（b）
故选A