Question

已知a，b都是正数，并且a≠b，求证：a⁵+b⁵＞a²b³+a³b²．

Answer

欲证a5+b5＞a2b3+a3b2，只要证a5+b5-a2b3+a3b2＞0即可．
证：（a5+b5）-（a2b3+a3b2）=（ a5-a3b2）+（b5-a2b3）
=a3（a2-b2）-b3（a2-b2）=（a2-b2）（a3-b3）
=（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）
∵a，b都是正数，∴a+b，a2+ab+b2＞0
又∵a≠b，∴（a-b）2＞0∴（a+b）（a-b）2（a2+ab+b2）＞0
即：a5+b5＞a2b3+a3b2．