Question

设函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）成立．数列{a_n}满足a₁=f（0），且 ．
（Ⅰ） 求f（0）的值；
（Ⅱ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ） 是否存在正数k，使对一切n∈N^*均成立，若存在，求出k的最大值，并证明，否则说明理由．

Answer

（Ⅰ）令x=-1，y=0，得f（-1）=f（-1）•f（0），由此能求出f（0）．
（Ⅱ）由，得f（an+1）•f（-2-an）=1，故f（an+1-an-2）=f（0），由此能求出an．
（Ⅲ）存在正数k，使成立．记，则，由此能求出k的最大值．
【解析】
（Ⅰ）∵函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，
且对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）成立．
∴令x=-1，y=0，
得f（-1）=f（-1）•f（0），
得f（0）=1．（3分）
（Ⅱ）由，得f（an+1）•f（-2-an）=1，
∴f（an+1-an-2）=f（0），
∴an+1-an-2=0，即an+1-an=2（n∈N*）．
∴{an}是等差数列，其首项为1，公差为d=2，
∴an=2n-1（8分）
（Ⅲ）存在正数k，使成立．
记，
则，
∴F（n）单调递增，
∴F（1）为F（n）的最小值，
由F（n）≥k恒成立知，
∴k的最大值为．（14分）