Question

已知函数f（x）=x²-（k-2）x+k²+3k+5有两个零点：
（1）若函数的两个零点是-1和-3，求k的值；
（2）若函数的两个零点是α和β，求α²+β²的取值范围．

Answer

（1）由题意得，函数的零点就是方程的根，即方程x2-（k-2）x+k2+3k+5=0的两个根是-1和-3，根据根与系数的关系可得k的值，
（2）由题中条件：“函数的两个零点是α和β”得α和β是方程x2-（k-2）x+k2+3k+5=0的两根，利用根与系数的关系表示出α2+β2，最后结合根的判别为非负数的条件求出一个二次函数的最值即得．
【解析】
（1）：∵-1和-3是函数f（x）的两个零点
∴-1和-3是方程x2-（k-2）x+k2+3k+5=0的两个实数根（2分）
则：解的k=-2（4分）
（2）：若函数的两个零点为α和β，
则α和β是方程x2-（k-2）x+k2+3k+5=0的两根
∴（7分）
则
∴（11分）
即：（12分）